复宇宙：
复宇宙指的是，以一个模型/宇宙为地基模型，也就是说，这个复宇宙当中的所有宇宙的交集都是它。在它的基础上，存在着无数个大于它的宇宙。复宇宙有点类似于我们今天所说的多元宇宙，或者说平行宇宙。在平行宇宙中，存在着无数个单独的宇宙，每个单独的宇宙可能都发生着不同的事，复宇宙当中每个不同的单独的宇宙就有些类似于这个。并且，因为复宇宙包含这个复宇宙中的地基模型的所有扩张，所以它对这个地基模型是封闭的，也就是说，这个地基模型无论进行怎样的变化，都无法超越这个复宇宙。
脱殊复宇宙:
脱殊复宇宙就是以V为地基模型构造出来的复宇宙。脱殊复宇宙拥有所有V的力迫扩张和V这个地基模型本身，且它对V是封闭的。
二阶复宇宙:
复宇宙本身就类似于一个公式，把不同的地基模型套进这个公式中，就会产生不同的复宇宙。按照某一种拓展方式，所有复宇宙的集合就是二阶复宇宙，或者称为“复复宇宙”。同样地，也可以构造出复复复宇宙，复复复复……宇宙……不断地扩充，增大。
v-logic(逻辑多元):
V-逻辑多元可以用来追求两个基础-TAL研究方向，这两个方向都理想地旨在开发公理化理论的多元宇宙。一是定义ZFC不同扩展的V-逻辑多元宇宙，考虑了AD、PD、大基数、V=L等公理，研究了这些V-逻辑多元宇宙之间的关系第二个方向在于用不同的结构来近似V，例如L，类L模型，V，其中Vk是一些大基数，并调查，例如，对应的v-逻辑多元宇宙的成员是否相互兼容，以及在何种程度上兼容。与泛型多元不同，V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。
脱殊扩张。是说包含V－可定义的偏序集 P.然后 P 上面有一个滤子称之为脱殊滤子 G.这个脱殊滤子对于V而言就有一种 transcendence的感觉(即脱殊)接着然后通过把 G 加到 V 中来产生一个新的结构： (V的) 脱殊扩张 V[G].作为一个 \sf ZFC 的模型。那么脱殊复宇宙就是：拥有在所有的力迫扩张 (和一些 ground
models) 下 closure形式的宇宙V.这是 woodin的成果之一。它确保了广义连续统的成立。而集合论多宇宙是说:根本不存在一个真正的集合论宇宙 V.所有的宇宙：不光光是力迫扩张。典范的和非典范的内模型、存在和不存在大基数的模型，都具有同等的本体论地位。这是 hankins的成果之一。与脱殊复宇宙不同，这里每一个集合论宇宙内都可以拥有各自属于自己的连续统的值。(只需要满足有不可数共尾性即可)
格罗滕迪克宇宙的话 …更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在 (即一个无限基数κ会使得Vκ |=ZFC.它可以断言 Con(ZFC)）
脱殊复宇宙需要脱殊扩张，脱殊扩张是说包含V-可定义的偏序集P然后P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G.这个脱殊滤子对于V而言就有一种transcendence的感觉(即脱殊)接着然后通过把G加到V中来产生一个新的结构：(V的)脱殊扩张V[G].作为一个ZFC的模型。那么脱殊复宇宙就是：拥有在所有的力迫扩张(和一些 groundmodels)下 closure形式的宇宙V.这是 woodin的成果之一。它确保了广义连续统的成立。
而集合论多宇宙是说：根本不存在一个真正的集合论宇宙 V. 所有的宇宙：不光光是力迫扩张。典范的和非典范的内模型、存在和不存在大基数的模型，都具有同等的本体论地位。这是 hankins 的成果之一。与脱殊复宇宙不同，这里每一个集合论宇宙内都可以拥有各自属于自己的连续统的值。(只需要满足有不可数共尾性即可)
格罗滕迪克宇宙的话 …更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在(即一个无限基数κ会使得Vκ |=ZFC.它可以断言 Con（ZFC））
说到脱殊复宇宙的话就要谈谈脱殊扩张。是说包含 V-可定义的偏序集p.然后 p上面有一个滤子称之为脱殊滤子 G这个脱殊滤子对于V而言就有一种transcendence的感觉(即脱殊) 接着然后通过把 G加到V中来产生一个新的结构：(V 的)脱殊扩张V[G].作为一个ZFC的模型。那么脱殊复宇宙就是：拥有在所有的力迫扩张(和一些 ground models) 下 closure形式的宇宙 V这是 woodin的成果之一。它确保了广义连续统的成立。
脱殊扩张：是说包含V－可定义的偏序集 P.然后P上面有一个滤子称之为脱殊滤子 G.这个脱殊滤子对于V而言就有一种 transcendence的感觉(即脱殊) 接着然后通过把G加到V中来产生一个新的结构： (V的) 脱殊扩张 V[G].作为一个ZFC的模型。那么脱殊复宇宙就是：拥有在所有的力迫扩张 (和一些 ground models) 下 closure形式的宇宙V.这是 woodin的成果之一。 它确保了广义连续统的成立。
脱殊复宇宙假设：脱殊复宇宙假设认为我们所处的宇宙只是个例子，存在着许多类似于我们宇宙的其他宇宙，每个宇宙都有其自己独特的物理规律和初始条件。这些不同的宇宙被称为“平行宇宙”
脱殊复宇宙与复宇宙:在 Hankins关于复宇宙的描述出现之前，woodin等人就提出过脱殊复宇宙( generic multiverse）的概念(参见
[12]、[14]等). Hankins的复宇宙概念与脱殊复宇宙概念有较密切的联系但不尽相同.脱殊复宇宙是由一些宇宙生成的在力迫扩张关系的对称闭包关系下封闭的集合论宇宙的聚合.例如，假设M是一个可数传递的ZFC模型.任给可数传递ZFC模型M1，M2，我们定义M1~Mz当且仅当M2是M；的力迫扩张或M；是M2的力迫扩张，则Va=[M]是由M生成的脱殊复宇宙.定理( Laver 9-Woodin-Reitz10])如果V是W的力迫扩张(即W是V的基模型)，那么W是V的内模型.并且存在V的所有基模型的统一的定义.即，存在集合论公式Ρ（r，3）使得,如果V=WG是由W中的偏序P上的脱殊滤GCP生成的脱殊扩张，那么存在rW使W=fx丨(ra)3.根据上述定理，容易看出 Hankins的复宇宙概念由于满足可实现公理和力迫扩张公理因而也是脱殊复宇宙.显然，脱殊复宇宙的强调的封闭性弱于复宇宙，这是因为， Hamkins通过复宇宙概念希望表达的是他关于集合论宇宙二阶存在的多宇宙观，而我认为脱殊复宇宙在Woodin等人著作中被提出是实在论者在执行哥德尔计划过程中向形式主义的妥协
脱殊复宇宙定义1.令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙VM为满足以下条件的最小模型类：1.M∈VM；2.如果N∈VM，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈VM;3.如果N∈VM，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈VM。简单说，VM是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊复宇宙记作V。定义2.2(脱殊复宇宙的真)对任意ZFC的可数传递模型M，和对任意集合论语言中的语句σ，我们称.σ是M-脱殊复宇宙真的，当且仅当它在VM的每个模型中都真，记作VM=σ；σ是M-脱殊复宇宙假的当且仅当VMF7σ;.σ是M-脱殊复宇宙无意义的当且仅当VMFσ并且VMF7σ。特别地，如果σ在由V生成的脱殊复宇宙中为真，则称σ是脱殊复宇宙真的，记作V=σ。，脱殊扩张：力迫法统假设的否定的一一致性，即(222)ZFC-
Com(ZFC)→Com(ZFC+ -CH).与哥德尔对已有zFC模型M进行限制从而得到满足特定命题的子模型L”的构造方式不同，力迫法所构造的模型M[Gl是包含给定模型M为其子模型的更大的模型。假设ZFC一致，那么由哥德尔的逻辑完全性定理”。就存在一个ZFC的集合模型。再由定理2.35.及 Motowsh坍塌，可以得到一个ZFe的可数传递模型，我们一般把可数传递模型作为力追法的原模型( grond moder).,元素称作条件( conditon).对ng∈p，若μ≤q(w≤η或ρ∞小.我们称条件Ρ比η强；若p⊥小.即不存在r∈P满足r≤p且r≤小.则称条件ρ与q不相容或不能同真。定义2.2.0假设P是偏序我们称DSP是網密的( deme).当且仅当对任意p∈P，存在η∈D满足η≤p给定pEP.我们说DSP在p之下铜密。当且仅当 DNPIp是Plr的稠密F集，其中Plp={q∈P|qs小.义2.2.7假设P是偏序，我们称FCP是偏序P上的滤，当且仅当（）PP.(2)若p∈F且p＜y.则η∈F.定义2.2.8假设P是模型M中的偏序，G是偏序P上的滤.我们称P上我们一般要求力迫法的原模型 M是可数的，是因为这样的话，对任意M中的保序P只有可数个M中的P上的网密果。假文(D1＜N是M中所有所有D.都是稠密的，所以p总能够取到。令G= {v∈P|3i<n(ws小}.容易证明，G是滤，并且是M.脱殊滤。因此，可数模型中的任意偏序上：总存在脱严格来说，我们对于用来力迫的条件集，印偏序P没有任何额外要求。但在力迫法的实际运用中，偏序集P椰满足如下性质，(22)对任意p∈Ρ，存在qsp.rSμ满足q⊥r.定理2.2.9P∈M1是偏序。P满足(223).当且仪当任意P上脱殊因此，对于不满足(22.3)的偏序，存在其上脱殊滤G∈M.又根据定理2.16由此生成的脱殊模型Ml(C]=M，将没有意义。我们称之为平凡力迫。他的世界，而这种在M中的人们看来可能的世界。在M“之外”的人们看来却是一个现实的集合模型MI(G].我们定义M中人们用来指称MI(C)中对象的专名(但名)的集合M”：定义2.2.10 r是P名，当且仅当+是关系，且对任意(.D)∈T，π是只名且ρ∈P.注意，上述定义应理解为递归定义。而并非循环定义。义22.11τ是P名，G:是脱殊滤.◇{t°1(Br∈（）（，1E小
定义脱蛛扩张MlG(={ r°lreMr).注意，r的定义也是递归的。我们还可以用递归方式来定义基础模型中集合的典范名。定义2.2.12对任意工。定义*=(0.川lvex，p∈P}.显然，对任意到，主是P名。通过归纳，容易证明，g=x因此M≤我们定义脱殊滤的典范名：义2.2.18 G=(.川)1pe则)注意，C其实不依赖于具体的脱殊滤G且C∈M.G是M中的人们用来指称G的名字，但生活在M中的人并不知道G到底是什么，事实上，的解杯(定2.1)，包括G自身:WWw.cr-Geion.com因而，在非平凡的情况下，我们期望NS M(q).最后，我们定义力迫语言的语义。即条件与力迫讯言公式之间的力迫关系（）.定义22川)（）μ4η≤加当且仅当对任意(m，nen.集p啡η—η当且仅当ρlη SηHplηζη.l在》之下稠密当集合{O≤p30.n)∈n60≤rλ90θπ=(2)pHρ入ψ.当且仅当pHp且pe.(3)plHψ.当且仅当对任意ηSp井非q14.
（） pFarp()，当且仅当集合{veP|3(r是P名（4（））在ρ之下上建定文中，（）中的(n).()是基于办刀所属阶层的遭归定义.该部分，即条件与原子公式的力迫条件与原子公式的力迫关系。在M下是绝对的。而整个定义。即()-(v)，.应被视为基于公式复尔度的通的定义。注意(于和中的无外量调物，所以一力迫关系可理解为MN中的人”所掌握的关于M(C]的一般知识的体系。即如果p力迫ф.那么无论Ml(G]到底是什么(无论取什么G)，若条件p真(w∈G)，则ρ也真(sM（）.这正是下述定理所表达的定理2.2.15 M是ZFC的可数传递模型，P是N中偏序，G是P上(相对于M）的脱殊滤。则存在M的脱殊扩张M|Gl，给定公式………（所有自由变元已列出)和……则.……当且仪当和e G(n4.……由此，可以进-步得到脱殊扩张基本定理。定理2.2.16（脱殊扩张基本定理)M是ZFC的可数传通模型，P是M中偏序，G题P上(相对于M）的脱殊滤。则存在M的脱殊扩张MlCl，满足:(1)MlG]见ZFC的传通模型。（2） MS Ml （G] lGe M（]：（3） M[G]是满足(1).(2)的最小极型。品然，脱殊扩张sM(q可以被看作是s1加上一个脱殊迪a生成的集合论运算下的闭包，利用脱殊扩张基本定理，我们可以通过设计M中的偏序P来逐步迫近那个无法在M中存在的脱殊池G.使得生成的G见证了M(G]满足我们所希望的性质。
多重宇宙公理的自然模型( A Natural Model of the Multiverse Axioms)如果ZFC是一致的，那么可计数的集合可计算地饱和ZFC模型满足Hamkins提出的所有多重宇宙公理。 A cardinal k is Reinhardt if there is an elementary embedding
j:V→V
with critical point κ.
Theorem(Kunen, 1971)
ZFC implies that Reinhardt cardinals don't exist. In fact， there is
no non-trivial elementary embedding
j:Vλ+2→Vλ+2
Definition
κ is super Reinhardt if for all ordinals λ there exists a non-trivial
elementary embedding j: V → V such that crit(j)=κ and
j(K)＞λ
If A is a proper class， then κ is A -super Reinhardt if for all ordinals
λ there exists a non-trivial elementary embedding j:V→ V such
that crit(j)=κ，j(K)＞λ，and j(A)= A， where
j(A):= S
a∈OR j(A ∩Vα).
κ is totally Reinhardt if for each A ∈ Vк+ 1 ，
hVк， Vк+1i |=ZF2 +“There is an A -super Reinhardt cardinal”
VO=∅, Vα =∪ξ＜α ρ(Vξ)，V=∪α∈Ord Vα，Ord与V为真类；
For each binary relation R on Vκ， there is a non-trivial fundamental embedding (Vκ，R).
This means that we have the basic j 1，j 2， j 3，…j1：(Vκ，∈)→(Vκ，∈)，j2：(Vκ，∈，j1)→(Vκ，∈，j 1），j3：(Vκ，∈，j1，j2)→(Vκ，∈，j1，j2)，and so on. This can last indefinitely any finite times and is infinite in the extent where the model has dependent choices.Thus， this concept can be strengthened simply by asserting more dependency choices.
先了解一下什么是脱殊扩张。有一个包含Β的可定义的偏序集β，β上面有一个滤子，称之为脱殊滤子g，通过把g加到V中可以产生一个新的结构，也就是V的脱殊扩张V[g]，作为一个ZFC的模型。脱殊复宇宙就是，拥有在所有的力迫扩张和一些外模型下封闭形式的宇宙V(这一成果来自于 woodin，它确保了广义连续统的成立)一个一个概念来了解。首先看看什么是偏微序集。一个集合满足这三个条件，就是偏序集。(分别是自反性，传递性，反对称性)假设有一个集合 X 。自反性：如果∀x.属于X，x≤x传递性：如果∀ x，∀g，∀z都属于X，并且x ≤ g，g ≤ z，则x≤g≤z反对称性：如果∀x，vg都属于X，且x≤g，g也≤ x，那么x=g再来了解一下滤子。假如说很多个大集合一起组成了一个更大的集合，在这个更大的集合中的每个大集合进行取并集运算和包含运算都是封闭的，法国数学家当嘉当把这种更大的集合定义为“滤子”。那么，什么是力迫扩张呢?举个例子，有一个良好的集合论模型∥,有一个它的子集g，但是g不一定属于∥。力迫要通过扩张，构造出一个模型//[g]。只要.//和g满足一些良好性质，就可以通过特定方法构造出.//包含g的最小扩张.//[g]。
Forcing的做法是把g取为某个偏序集β的子集，并且这个g满足某些 特定性质。我们并不知道g是什么样子，也不知道它是什么情况，但是我们可以用一种特定的方法构造.//[g]。也就是说，我们不知道g是什么样子，也不知道它是什么情况，但是只要它满足与.//的一些特性，我们就可以用特殊的方式构造它当然了，上面只是举了一个最小的M包含g的扩张.//[g]的例子，脱殊复宇宙对V的力迫扩张可没那么小。脱殊复宇宙呢，就是V的所有力迫扩张下还有其它的一些元素构成的宇宙模型
弱莱茵哈特：当且仅当存在一个非平凡初等嵌入j：V_λ+2-＞j：Vλ+2使得V_K＜Vλ＜V_y，并且y＜λ＜K
近年 来“集合论多重宇宙”的概念在关于集合论基础的争论中岀现并逐渐得到重视。到目前为止，已经提出了几个集合论多重宇宙的概念，所有这些概念都有优点和缺点。 Hankins的广义多重宇宙([4])，包括集合论公理集合的所有模型，在哲学上是稳健的，但在数学上是不吸引人的，因为它可能不能满足集合论的基本要求。steel的集泛多宇宙（[5])由公理
ZFC+ Large Cardinals的所有布尔值模型VB组成，在数学上非常吸引人和丰富，但过于局限，特别是它不能捕获所有可能的外部模型，只关注集泛的扩展。最后， Sy Friedman的超宇宙概念（[2])，虽然在数学上是多才多艺的，并且具有基础性的吸引力，但其主要缺点是假设V是可数的。在本文中，我们引入了集合论多重宇宙的一个新概念，即“V- logic多重宇宙”，它扩展了在超无量纲程序([1]，[3])中进行的数学工作，但也利用了集合广义多重宇宙的特征，特别是Steel提出的对它的公理化。V逻辑是一种无限逻辑(一种允许公式和无限长度证明的逻辑)，其语言Lκ+,ω，除了一阶逻辑中已经使用的符号之外，还包括κ-多个常数a，每个常数a∈V。在V-逻辑中，当且仅当M是V的外部模型时，可以保证某些模型M满足关于ZFC+ψ的一致性的陈述，对于某些集合论陈述ψ，当且仅当M是V的外部模型。通过集合强制、类强制、超类强制以及通常任何能够产生V的宽度扩展的模型理论技术获得的模型。因此，通过选择合适的一致性声明，我们可以生成具有特定特征的外部模型M。V逻辑多元宇宙正是V的所有这些外部模型的集合。
脱殊复宇宙
(令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类:
1.M∈Vᴍ
2.如果N∈Vᴍ，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ
3.如果N∈Vᴍ，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则 N'∈Vᴍ
简单说，Wᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。
如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊 refinements(给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。
也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。）
复复宇宙(存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N，使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙于是我们可以继续，得到复复复宇宙等……）
逻辑多元(V-逻辑（V-logic)
V-逻辑具有以下的常元符号 ：
aˉ表示V的每一个集合a
Vˉ表示宇宙全体集合容器V
在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则 ：vb，b∈a，ψ(bˉ)├∀x∈aˉ，ψ(x)
va,b∈V，ψ(aˉ)├∀x∈Vˉ，ψ(x)
作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 a
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ˉ 和表示V本身的常元符号Vˉ，而且还有一个常元符号Wˉ来表示V的"外模型)
V逻辑多重宇宙公理自然模型是一种数学模型，用于描述多重宇宙理论中的不同宇宙之间的关系。该模型基于集合论和模型论的基础上，使用了V逻辑和公理系统来描述多重宇宙之间的关系。其中，V逻辑是一种模态逻辑，用于描述集合论中的概念和关系，而公理系统则是一组公理和推理规则，用于推导出集合论中的定理。
在V逻辑多重宇宙公理自然模型中，每个宇宙都对应着一个集合，而不同宇宙之间的关系则通过集合之间的包含关系来描述。具体来说，如果一个集合A包含另一个集合B，则可以认为A对应的宇宙包含B对应的宇宙。这种包含关系可以通过V逻辑中的模态运算符来表示。总之，V逻辑多重宇宙公理自然模型是一种用于描述多重宇宙之间关系的数学模型，它为多重宇宙理论提供了一种形式化的描述方式。
在V逻辑多重宇宙公理自然模型中，集合和宇宙之间存在一种对应关系。具体来说，每个宇宙对应着一个集合，而不同宇宙之间的关系则通过集合之间的包含关系来描述。在这个模型中，我们可以将每个宇宙看作是一个集合，而这个集合中的元素则代表了该宇宙中的所有可能的对象或实体。不同宇宙之间的关系可以通过集合之间的包含关系来表示。如果一个集合A包含另一个集合B，那么可以认为A对应的宇宙包含B对应的宇宙。举个例子，假设我们有两个宇宙U1和U2，分别对应着两个集合A和B。如果A包含B，即A ⊃ B，那么我们可以说U1包含U2。这意味着U1中的所有可能对象或实体也包含了U2中的所有可能对象或实体。总之，在V逻辑多重宇宙公理自然模型中，集合和宇宙之间存在一种对应关系，通过集合之间的包含关系来描述不同宇宙之间的关系。
Lo=0 Ll = Def ( Lo) Def(0)=[03… In+1= Def (Ln) L ω= L o∪Li∪· ULn U.·=∪ Lt t＜W Def（Lα)若入=α+1Lx=U Ln若λ是极限序数t＜λ L=U Lt， t跑遍所有序数t这是数学上理论的最高模型
复宇宙：复宇宙指的是，以一个模型/宇宙为地基模型，也就是说，这个复宇宙当中的所有宇宙的交集都是它。在它的基础上，存在着无数个大于它的宇宙。复宇宙有点类似于我们今天所说的多元宇宙，或者说平行宇宙。在平行宇宙中，存在着无数个单独的宇宙，每个单独的宇宙可能都发生着不同的事，复宇宙当中每个不同的单独的宇宙就有些类似于这个。并且，因为复宇宙包含这个复宇宙中的地基模型的所有扩张，所以它对这个地基模型是封闭的，也就是说，这个地基模型无论进行怎样的变化，都无法超越这个复宇宙。
脱殊复宇宙：脱殊复宇宙就是以V为地基模型构造出来的复宇宙。脱殊复宇宙拥有所有V的力迫扩张和V这个地基模型本身，且它对V是封闭的。
二阶复宇宙：复宇宙本身就类似于一个公式，把不同的地基模型套进这个公式中，就会产生不同的复宇宙。按照某一种拓展方式，所有复宇宙的集合就是二阶复宇宙，或者称为“复复宇宙”。同样地，也可以构造出复复复宇宙，复复复复……宇宙……不断地扩充，增大。
V-逻辑：V-逻辑和复宇宙的类型是不一样的。
V-逻辑是单宇宙，但它也属于V的扩展。在玄宇宙计划中，V-逻辑被用来间接地表示出V的外模型。V-逻辑虽然类型跟复宇宙不一样，但是它的强度可能会强于脱殊复宇宙。V-逻辑是所有可数传递模型的集合。
第二种方案标准公理（独立）体系：复宇宙
复宇宙
Hamkins 在[20]中的一些地方表现出他更强调那些集合论模型的实在性.其中最有代表性的是他对复宇宙（multiverse）3的描述.类似于传统实在论所假设的绝对的集合论宇宙(包含着所有的集合)，多宇宙观的复宇宙是由所有的集合论宇宙组成的那个绝对的宇宙. Hamkins 强调:“我们不期望从一个宇宙能够看到整个复宇宙”[20,23].这里，多宇宙观的复宇宙，类似于传统实在论的集合论宇宙，是一个绝对的概念.即，凡是能够被想象的集合论宇宙都在其中，超出复宇宙这种想法本身是不一致的.
Hamkins 在[20,4]提到了 von Neumann [46, 412]考虑到的一种情况：“一个集合论模型可以是另一个集合论模型中的集合，而且一个集合可以在前一个模型中是有穷的，而在后一个模型看来是无穷的；类似地，前一个模型中的良序在后一个模型看来可以有一个无穷下降链.”这为人们对复宇宙内宇宙间的关系的理解提供了一些直观.
5.2.1 复宇宙公理及其一致性
类似于一些集合论公理描述了集合论宇宙的丰富性，即集合论宇宙在集合存在和集合运算下的封闭性， Hamkins 提出了一组复宇宙公理力图展现复宇宙的丰富性，即存在很多的集合论宇宙，并且复宇宙在集合论宇宙之间的一些关系下封闭.
定义 5.2.1 （复宇宙公理）假设 M 是一个由 ZFC 模型组成的非空类.我们说 M 是一个复宇宙，但且仅当它满足：
(1）可数化公理：对任意 M 中的模型 M，存在 M 中的一个模型 N，使得 M 是 N 中的一个可数集合.
(2)伪良基公理：对任意 M 中的模型 M，存在 M中的一个模型 N，使得在 N 看来，结构 M 上的关系 ∈ω 是一个莠基的关系.
3作者将 multiverse view 译作多宇宙观，这是与传统集合实在论，也即被多宇宙观称作唯一字宙观(universe view)相对的概念，而这里的复宇宙是指多宇宙观所理解的包含所有集合论宇宙的那个宇宙。
(3)可实现公理：对任意 M 中的模型 M，如果 N 是 M 中参数可定义的类,并且 M 认为 N 是 ZFC 的模型，那么 N 在 M 中.
(4)力迫扩张公理：对任意 M 中的模型 M，如果 P 是 M 中参数可定义的偏序 (类)，那么存在一个 P上的 M 脱殊滤 G，使得力迫扩张 M[G]在 M 中.
(5)嵌入回溯公理:对任意 M 中的模型 M1若 ji, M2是 M1 中参数可定义的类且 M1 认为 ji ：M1 → M2 是一个初等嵌入，那么存在 M 中的一个模型 M0，M0认为以同样方式4定义的 j0 ：M0 → M1 是一个初等嵌入，并且 j1 = j0(j0).
注 5.2.2 我们说,“集合论模型(M,∈M)5是 N 中的一个元素(集合)”或“M 在 N 中”，是指存在集合 N 中的一个元素 α0， N 认为该元素是由 m0, E0 组成的有序对且 E0 是 m0 上的一个二元关系，且 N ╞ α0 = (m0,E0)ΛE0 ⊆ m0×m0，而从外面看集合 m1 = { x ∈ N | N ╞ x ∈ m0} 及其上的关系 E1 = {(x,y) ∈ N × N | N ╞ xE0y}组成的结构(m1,B1)同构于集合论模型 M.
图 5.2.1：非传递模型的错觉
4“以同样方式”指的是：假设 j1 = {x ∈ M1 | M1 ╞ φ[x，p1]}，则 j0 = {x ∈ M0 | M0 ╞ φ[x，p0]} 且 j0(p0) = p1.
5当我们谈论一个集合论模型（M,∈M）时，往往会简写为“集合论模型 M”，此时，我们考虑的是一个结构，而不仅仅是一个集合.
由于这里所涉及的集合论模型不一定是传递模型.从外面看，它们的“属于”关系不一定是真正的属于关系的一个子类.所以，同一个对象，从外面看和从一个非传递的集合模型 N 看，可能包含不同的元素.我们一般用上标 0 来强调我们指的是模型 N 中的一个对象，用上标 1 来表示我们指的是 N 把该对象理解成的那个集合.例如， N = Ult(V,U)是一个超幂(U 是序数 α 上超滤). N 中的元素都是形如 [f]U 的集合.其中 f 是从 α 到 V 中的函数， [f]U 是 mod U 的等价类。从外面看 [f]U 是由所有与 f 等价的函数组成的集合，我们用 α0 表示这个对象，即 α0 ={g | g ~U f}= [f]U。而在 N 看来， [f]U 所包含的元素是那些 [g]U。从外面看，那些 g 满足对大部分 s有 g(x) ∈ f(x) (记为 g ∈U f)。此时，我们用 α1 来表示， N 所理解的 α0，既 α1 ={[g]U | g∈U f}.
结构(m1,E1)是从外面看对 N 所理解的(m0,E0)的理解.对任意 x,y ∈ m1，
(m1,E1) ╞ x ∈ y (即 xE1y)当且仅当 N ╞ ┌ (m0,E0) ╞ x ∈ y¬。而 x ∈ m1 当且仅当 x ∈ N 且 N ╞ x ∈ m0。因此，对公式复杂度简单地归纳就可以得出：任给集
合论公式 φ 和 x1,...,xn ∈ m,
(5.2.1) (m1,E1) ╞ φ[x1,...,xn] ⇔ ╞ ┌(m0,E0) ╞ φ[x1,...,xn]¬
注 5.2.3 我们说,“集合模型 M1 认为别 j1：M1 → M2 是一个初等嵌入”（ j1 和 M2 是 M1 中参数可定义的类)，严格地是在说， M 认为 j1 是从自身到 M2 的 Σ0 初等嵌入(对任意 Σ0 公式 φ(x) 有, M1 ╞ φ[α] 当且仅当 M2 ╞ φ[j(α)]).这样定义是因为，M 中无法定义自己的真谓词，因而无法真正说 j1 是初等嵌入。但 M1 中可以说 j1 是 Σ0 初等嵌入。并且从外面看，如果 j1：M1 → M2 是 Σ0 初等嵌入，那么从外面可以归纳地证明它确实是初等嵌入，核心归纳步骤如下.
假设 M2j(β) ╞ ∃xφ(x)，那么存在序数 α OrdM2 使得， VM2j(β) ╞ ∃xφ(x)。由于 j1 是一个共尾嵌入，即总存在β ∈ M1 使得 j(β)>α，我们选取足够大的 β 使得 VM2j(β) ╞ ∃xφ(x)。即 M2 ╞ ∃x ∈Vj(β)φ(x)。而 ∃x ∈Vj(β)φ(x)的复杂度不比 φ 更高，所以我们可以运用归纳假设，得到 M1 ╞ ∃xφ(x).
总的来说，复宇宙公理所要表达的是，复宇宙是没有中心的，没有一个集合论宇宙可以被看作是标准的.我们看到的或想象我们生存于其中的那个集合论宇宙，在别的宇宙看来可能只是一个可数的世界；或者它不是一个良基的世界；它可能是另一个世界中的超幂或者是布尔值模型下的一种可能性.并且，即使我们能跳出当前的宇宙，从更高明的角度审视并意识到这些问题，我们仍然只不过是处于一个更高级的幻觉中而已.
Gitman 和 Hamkins 在[15]中证明了，假设 ZFC 是一致的，那么看似荒谬的复宇宙公理并不蕴含着矛盾.
定义5.2.4（可数的可计算地和模型类） 令 T 是一个集合论理论，
CCSM(T)={(m, E) | m 可数,且(m, E)是 T的可计算饱和模型}
是由所有满足 T 的可数可计算饱和的集合论模型组成的类.
一个集合论模型 M 是可计算饱和的，当且仅当对于任意可计算的公式集 Ø(x,a)(其中至多包含一个自由变元 ,一个参数 α ∈ M)。如果 Ø(x,a)的每个有穷子集在 M 中可实现(即有穷可实现),那么整个 Ø(x,a) 在 M 中可实现,即存在 b ∈ M 使得 M╞ Ø[b,a].
容易验证，任何可计算饱和的集合论模型都有一个非标准的 ω。因为，公式集 {x ＜ ω,x ＞ 0,x ＞ S0,...,x ＞Sn0,…} 是可计算的，也是 M 中有穷可实现的.
定理 5.2.5（Gitman-Hamkins）假设 ZFC 一致，那么 CCSM(ZFC)满足所有复宇宙公理.即所有可数的可计算饱和的 ZFC 模型组成了一个复宇宙，证明概述首先，引理 5.2.6 是整个证明的核心引理.
引理 5.2.6 任给两个可数的可计算饱和的 ZFC 模型，如果它们有相同的标准系统，那么这两个模型同构.
我们知道,一个ω非标准的模型 N 中不存在标准的 ω，也不存在在标准 ω 的无穷子集.但我们可以说 N 中的一个自然数子集 (非标准的) α0 是一个标准的自然数子集 A 的代码(code)，当且仅当 A ＝ α1 ∩ω。我们说一个模型 M 的标准系统(standard system)，是指所有能用 M 中元素编码的标准的自然数子集，既 SSy(M) = {ω∩α1 | α0 ∈ M}
在证明可数化和伪良基公理成立的时候，我们实际上证明的是任何一个可数的可计算饱和模型 N 都含有一个自己的副本，即含有一个元素 α，并认为它是一个可数的非良基集合论模型（m, E)，而通过引理 5.2.6 可以证明，从外面看，该模型与 N 同构，反过来说，每个可数的可计算模型都在自己的一个副本之中，且被自己认为是可数的并且是非良基的.
类似地，假设 Mi 是个可数的可计算饱和模型，并且 j ：M1 → M2。我们可以利用引理 5.2.6 证明，事实上存在一个同构 M1 ≃ M2，并且在 Mz中以同样方式定义的 j2 = j1(j1)。因此，就像站在 M2 的角度看，存在模型 M0 (其实是 M1 自己)及其中同样地定义的初等嵌入 j0 ：M0 → M1 使得 j1 = j0(j0).
运用引理 5.2.7
引理 5.2.7 假设 N 是拥有一个非标准的w的 ZFC 模型，那么 N 中的模型都是可计算饱和的。
我们可以证明，任给一个可数的可计算饱和的模型 M，它的内模型和力迫扩张同样在某个可计算饱和(因而也是ω非标准的)模型中，所以也是可计算饱和的,即在 CCSM(ZFC)中.
值得说明的是，在可数化公理和伪良基公理中，我们并不要求那个“更好的”模型 N 把 M 识别为 ZFC 的模型.事实上， N 中的句子集 ZFC 被编码为 N 中的那个非标准的 ω 的子集，是一个非标准的 ZFC.所以，尽管实际上 M 是 ZFC 的模型， N 仍可能认为 M 只满足它所认识的 ZFC 的一个前段.
然而，在一定的假设之下，还是可以找到一个模型 N 把 M 识别为 ZFC 的模型.
引理 5.2.8（Gitman-Hamkins）如果 M 是可数的可计算饱和的 ZFC 模型，那么下面两个命题等价:
(1)理论 TM =ZFC+{ Con(ZFC + Γ) | Γ 是 Th(M)的有穷子集 }是一致的.
(2)存在可数的可计算饱和的 ZFC 模型 N， M 是 N 中的元素，并且 N 认为 M 是一个可数的可计算饱和的 ZFC 模型.
我们会在后面看到， TM 一致这个假设其实并不很强.
需要注意的是，在传统实在论者看来，一个 ZFC 甚至 ZF 的模型可以被称为一个集合论宇宙，但这些模型绝不是他们心目中的那个绝对的囊括所有集合的宇宙。类似地，我们在这里把 CCSM(ZFC)称作一复宇宙，只是表名它满足定义 5.2.1 的复宇宙公理.它绝不可能是二阶实在论所理解的那个绝对的复宇宙,因为它事实上是某个集合论宇宙中一个可定义的类。此外，就像 ZFC 不是对集合论宇宙的完备的描述，我们没有理由以为定义 5.2.1 中所列复宇宙公理是完备的。事实上，人们期待着一种根本上不同于力迫扩张的新的集合论模型构造方式,也即一种新的一致性证明方式的发现.
总之， Hamkins 通过这一结论试图说明的仅仅是，多宇宙观对复宇宙的理解至少是一种一致的无法被逻辑证否的哲学假说.
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